Fractales: Triángulo de Sierpinski

Waclaw Sierpinski (1882-1969)

Waclaw Sierpinski, o grande matemático polaco...estava preocupado por ter perdido uma mala da sua bagagem:

- Não, querido!- disse-lhe a mulher- Estão aqui as seis malas.
- Não pode ser- disse Sierpinski- contei-as várias vezes: zero, um ,dois, três, quatro, cinco.

John Conway e Richard Guy, O Livro dos Números

El matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919. Partamos (iteración n=0) de la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Seguidamente (iteración n=1) tomemos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4. En la figura animada observamos hasta cinco iteraciones sucesivas. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.

Sierpinski diseñó este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos ...

Podemos hacer construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones con tetraedros.

El triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes. Cada una de ellas con exactamente la mitad de tamaño de la original. Si doblamos el tamaño de una de las partes recuperamos el triángulo inicial. El triángulo de Sierpinski está formado por tres copias autosimilares de él mismo. Decimos que es autosimilar.

En realidad la autosimilaridad es más profunda. Cada una de las copias puede descomponerse a su vez de tres copias autosimilares (un total de nueve). Y a partir de cualquiera de ellas, aumentando su tamaño en un factor 4 recuperamos el original. En general, podemos dividir el triángulo en 3n piezas autosimilares que aumentadas en un factor 2n nos devuelven la figura inicial. Este tipo de autosimilaridad a todas las escalas es el sello identificativo de un fractal.

Esta propiedad ha sido utilizada con astucia en ingeniería. Un ejemplo reciente son las antenas fractales. El diseño de antenas se ejecuta en gran medida por tanteo. Muchas antenas están compuestas por una distribución de pequeñas antenas. Si la distribución es regular, la antena presenta alto rendimiento y si es aleatoria ofrece robustez. Parece que un diseño fractal como el de la figura combina ambas propiedades. En el caso de un solo hilo, siguiendo una forma fractal, al doblar se consigue empaquetar más hilo en el mismo espacio y la forma dentada genera capacitancia e inductancia extra.

Ejercicio
¿Qué relación existe entre el triángulo de Pascal (que nos permite calcular fácilmente los números combinatorios) y el triángulo de Sierpinski?
Solución:

Si coloreamos los resultados impares del triángulo de Pascal veremos que sigue una distribución semejante a la del triángulo de Sierpinski, si imaginamos el triángulo de Pascal infinitamente grande. Los números pares serían los triángulos que vamos eliminando en el triángulo en cada iteración. ¡Una curiosa relación!