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"Leer te condena a muchas cosas terribles, sobre todo a la lucidez; te acerca más a las cosas en su esencia, que a menudo es desagradable, pero también te da los mecanismos analgésicos y compensatorios para enfrentarte a ellas"

Arturo Pérez reverte





miércoles, 26 de marzo de 2008

Fractales: Alfombra de Sierpinski y esponja de Menger


Karl Menger (1902-1985)


He aquí la alfombra de Sierpinski (Sierpinski's Carpet)



Ahora las imágenes hablan ya por sí mismas. El proceso de elaboración de la alfombra de Sierpinski es muy semejante a su triángulo . Dividimos un cuadrado de lado unidad inicial en nueve cuadrados idénticos y recortamos el central. Repetimos el proceso en cada iteración.

En la iteración n-ésima persisten:

Nn = 8n , cuadrados. Cada uno con un lado de longitud:

Ln = (1/3)n .

El área total en la n-ésima iteración será:

An= Ln2 Nn = (8/9)n .

Así que en el límite de iteraciones tendiendo a infinito, la alfombra de Sierpinski está tan apolillada que su superficie es nula. Esto no parece sorprendente. Al menos hasta que no calculamos su perímetro, que efectivamente es: ¡infinito!

Si partimos de un cubo en tres dimensiones y aplicamos un proceso semejante al de la alfombra de Sierpinski , obtendremos la esponja de Menger. En vez de eliminar pequeños cuadrados, eliminamos pequeños cubos.



Curiosidades:
Aquí tienes sucesivas aproximaciones al pentacopo. En su interior está escondido el número aúreo, una constante matemática a la que le dedicaremos más adelante su tiempo.


Nº Aureo