Fractales: la isla de Koch

El creador en 1904 de este monstruo fue Niels Fabian Helge von Koch , matemático sueco.

Partamos de un triángulo equilátero de lado unidad. Dividimos en tres partes iguales de longitud 1/3 cada lado. Sustituimos el segmento central por dos segmentos de tamaño idéntico formando un diente como muestra la animación en la iteración n=1. Tenemos una curva poligonal P1 de longitud 3·4··1/3=4. Repetimos la operación (n=2) con cada uno de los cuatro nuevos segmentos de cada uno de los "lados". Obtendremos así la curva P2 de longitud 3·42·1/32=16/3. La iteración indefinida nos proporciona la isla de Koch o copo de nieve de Koch.

En la operación n-ésima la curva estará formada por 3·4n trozos, de perímetro 4n /3n-1. La curva de Von Koch resulta del paso al límite de la sucesión de curvas Pn cuando n tiende a infinito. ¿Cuál es la longitud del perímetro de esta isla?
Será:

Es decir, aunque la isla de Von Koch ocupa una región limitada del espacio, un área finita, su perímetro es ... ¡infinito!

Existen muchas variantes sobre la construcción de la curva de Kock . Abajo se muestra la curva de Koch exterior, que parte originalmente de un hexágono, en vez de un triángulo equilátero:

Abajo vemos dos versiones más que parten de un cuadrado. Se denominan fractales de Cesaro. Observemos que la variación del ángulo se traduce en dos resultados finales bien diferentes.

Ya en la Grecia clásica existían varias definiciones para el concepto de curva. Desde las curvas entendidas como la intersección de superficies, caso de las cónicas, a la de curva entendida como el lugar geométrico de la trayectoria recorrida por un punto. En el siglo XVII la geometría analítica asocia curvas y ecuaciones algebraicas. Más tarde, el cálculo diferencial acaba reservando el nombre curva a la función continua.

Las curvas que estamos acostumbrados a tratar son "suaves". Imaginemos que trazamos una tangente a una de estas curvas en uno de sus puntos. Ampliemos una zona microscópica alrededor del punto de tangencia: a medida que nos acercamos más y más al entorno "infinitesimal" del punto, la línea tangente se ajusta más y más a la curva. Decimos que localmente la curva es indistinguible de una línea recta. De forma similar ocurre con una superficie: sobre cada punto podemos trazar un plano de tangencia. Decimos, entonces, que localmente la superficie es indistinguible de un plano.
La contrapartida algebraica es que podemos determinar analíticamente el valor de la derivada de la curva en el punto de tangencia. Si la curva representa la trayectoria de un móvil, el valor de la derivada en un punto nos proporciona su velocidad instantánea.

Observemos la recta (a). Es derivable en todos sus puntos. La curva (b), llamada diente de sierra, sin embargo, no lo es en todos ellos. Una curva quebrada no posee una tangente única en su punto de ruptura. La derivada por la derecha y por la izquierda no coinciden. Esto hace que la descripción de la curva se complique. La curva es continua pero no derivable en ese punto. Para una curva poligonal como la función diente de sierra necesitamos una descripción analítica por partes. En la curva (b) nos encontramos con 3 puntos no derivables. La curva (c) es sencillamente la iteración n=3 de uno de los lados de la curva de Kock. Es continua pero posee 9 puntos no derivables... Y, efectivamente, la curva de Kock es una curva contínua en todos sus puntos pero no derivable en ninguno... ¡No podemos trazar tangente a ninguno de sus puntos!

Benoit Mandelbrot estuvo acertado al escoger el nombre "fractal" para estas criaturas geométricas. La palabra latina fractus significa quebrado. En sus propias palabras:

"I coined fractal from the Latin adjective fractus. The corresponding Latin verb frangere means "to break": to create irregular fragments. It is therefore sensible - and how appropriate for our needs! - that, in addition to "fragmented" (as in fraction or refraction), fractus should also mean "irregular", both meanings being preserved in fragment." (The Fractal Geometry of Nature, página 4)