Karl Menger (1902-1985)
He aquí la alfombra de Sierpinski (Sierpinski's Carpet)
Ahora las imágenes hablan ya por sí mismas. El proceso de elaboración de la alfombra de Sierpinski es muy semejante a su triángulo . Dividimos un cuadrado de lado unidad inicial en nueve cuadrados idénticos y recortamos el central. Repetimos el proceso en cada iteración.
En la iteración n-ésima persisten:
Nn = 8n , cuadrados. Cada uno con un lado de longitud:
Ln = (1/3)n .
El área total en la n-ésima iteración será:
An= Ln2 Nn = (8/9)n .
Así que en el límite de iteraciones tendiendo a infinito, la alfombra de Sierpinski está tan apolillada que su superficie es nula. Esto no parece sorprendente. Al menos hasta que no calculamos su perímetro, que efectivamente es: ¡infinito!
Si partimos de un cubo en tres dimensiones y aplicamos un proceso semejante al de la alfombra de Sierpinski , obtendremos la esponja de Menger. En vez de eliminar pequeños cuadrados, eliminamos pequeños cubos.
Curiosidades:
Aquí tienes sucesivas aproximaciones al pentacopo. En su interior está escondido el número aúreo, una constante matemática a la que le dedicaremos más adelante su tiempo.
Nº Aureo